Question

如圖已知有一塊圓形鐵皮，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，連接AD、BC，OC，且BE=2，CD=12．
（1）求⊙O半徑的長；
（2）若∠OCD=4∠BCD，求陰影部分的面積．（結果保留π）．

Answer 1

考點：垂徑定理的應用,勾股定理,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）先根據(jù)垂徑定理得出CE=

1

2

CD=6，設半徑為R，由BE=2，則OE=R-2求出OE的長，在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出半徑的長；
（2）由圓周角定理得出∠AOC=2∠ABC，根據(jù)OC=OB可知∠OCD+∠BCD=∠OBC，根據(jù)∠BCE+∠OBC=90°可求出∠OBC的度數(shù)，進而得出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進行解答即可．

解答：解：（1）∵⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，
∴CE=

1

2

CD=6，∠OEC=90°，
設半徑為R，
∵BE=2，
∴OE=R-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即R²=（R-2）²+6²，解得R=10，
∴⊙O半徑的長為10；

（2）∵OC=OB，
∴∠OCD+∠BCD=∠OBC，
∵∠BCE+∠OBC=90°，即6∠BCE=90°，
∴∠BCE=15°，
∴∠OBC=90°-15°=75°，
∴∠AOC=2∠OBC=2×75°=150°，
∴S_陰影=

150π×102

360

=

125π

3

．

點評：本題考查的是扇形面積的計算，垂徑定理及圓周角定理，直角三角形的性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵．