Question

2．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一個(gè)銳角為60°，BC=6．若P在線段CA的延長(zhǎng)線上，且∠ABP=30°，則CP的長(zhǎng)為6或4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分4種情況進(jìn)行討論，利用直角三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：如圖1：

當(dāng)∠C=60°時(shí)，∠ABC=30°，與∠ABP=30°矛盾；
如圖2：

當(dāng)∠C=60°時(shí)，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等邊三角形，
∴CP=BC=6；
如圖3：

當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB=$\frac{3}{cos30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$；
但不符合P在線段CA的延長(zhǎng)線上，
如圖4：

當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4$\sqrt{3}$．
故答案為：6或4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．