Question

17．探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：P₁P₂=$\sqrt{{{（{{x_2}-{x_1}}）}^2}+{{（{{y_2}-{y_1}}）}^2}}$他還利用圖2證明了線段P₁P₂的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式：x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$．

（1）請(qǐng)你幫小明寫出中點(diǎn)坐標(biāo)公式的證明過程；
運(yùn)用：（2）①已知點(diǎn)M（2，-1），N（-3，5），則線段MN長(zhǎng)度為$\sqrt{61}$；
②直接寫出以點(diǎn)A（2，2），B（-2，0），C（3，-1），D為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：（-3，3）或（7，1）或（-1，-3）；
拓展：（3）如圖3，點(diǎn)P（2，n）在函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請(qǐng)?jiān)贠L、x軸上分別找出點(diǎn)E、F，使△PEF的周長(zhǎng)最小，簡(jiǎn)要敘述作圖方法，并求出周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）用P₁、P₂的坐標(biāo)分別表示出OQ和PQ的長(zhǎng)即可證得結(jié)論；
（2）①直接利用兩點(diǎn)間距離公式可求得MN的長(zhǎng)；②分AB、AC、BC為對(duì)角線，可求得其中心的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)P關(guān)于直線OL的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，則可知OR=OS=2，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得R的坐標(biāo)，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)S，此時(shí)EP=EM，F(xiàn)P=FN，此時(shí)滿足△PEF的周長(zhǎng)最小，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得其周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：
（1）∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴Q₁Q₂=OQ₂-OQ₁=x₂-x₁，
∴Q₁Q=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$，
∴OQ=OQ₁+Q₁Q=x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
∵PQ為梯形P₁Q₁Q₂P₂的中位線，
∴PQ=$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}+{P}_{2}{Q}_{2}}{2}$=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
即線段P₁P₂的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式為x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$；
（2）①∵M(jìn)（2，-1），N（-3，5），
∴MN=$\sqrt{（2+3）^{2}+（-1-5）^{2}}$=$\sqrt{61}$，
故答案為：$\sqrt{61}$；
②∵A（2，2），B（-2，0），C（3，-1），
∴當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（-1）=2，解得x=-3，y=3，
∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，3），
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1），
當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3），
綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，3）或（7，1）或（-1，-3），
故答案為：（-3，3）或（7，1）或（-1，-3）；
（3）如圖，設(shè)P關(guān)于直線OL的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，

又對(duì)稱性可知EP=EM，F(xiàn)P=FN，
∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，
∴此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)即為MN的長(zhǎng)，為最小，
設(shè)R（x，$\frac{4}{3}$x），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4}{3}x）^{2}}$=2，解得x=-$\frac{6}{5}$（舍去）或x=$\frac{6}{5}$，
∴R（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴$\sqrt{（2-\frac{6}{5}）^{2}+（n-\frac{8}{5}）^{2}}$=n，解得n=1，
∴P（2，1），
∴N（2，-1），
設(shè)M（x，y），則$\frac{x+2}{2}$=$\frac{6}{5}$，$\frac{y+1}{2}$=$\frac{8}{5}$，解得x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{11}{5}$，
∴M（$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$），
∴MN=$\sqrt{（2-\frac{2}{5}）^{2}+（-1-\frac{11}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
即△PEF的周長(zhǎng)的最小值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及中位線定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式、軸對(duì)稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中求得OQ和PQ的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，在（3）中確定出E、F的位置，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．