Question

18．解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+xy+{y}^{2}=15}\\{3{x}^{2}-31xy+5{y}^{2}=-45}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 將①×3+②得x²-7xy+2y²=0，即（x-2y）（3x-y）=0，從而可得x=2y或3x=y，再分別代入方程①即可求得方程組的解．

解答 解：解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+xy+{y}^{2}=15}&{①}\\{3{x}^{2}-31xy+5{y}^{2}=-45}&{②}\end{array}\right.$，
①×3+②，得：12x²-28xy+8y²=0，即x²-7xy+2y²=0，
左邊因式分解，得：（x-2y）（3x-y）=0，
∴x=2y或3x=y，
將x=2y代入①，得：12y²+2y²+y²=15，即15y²=15，
解得：y=±1，
∴此時(shí)方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
將3x=y代入①，得：15x²=15，
解得：x=±1，
∴此時(shí)方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$；
綜上，方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解高次方程的能力，高次方程的解法思想：通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒�，把高次方程化為次�?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過(guò)因式分解來(lái)解．