Question

5．已知長方形的生活小區(qū)OBCD的邊長分別為40米和130米，如圖，建立平面直角坐標系，“創(chuàng)文明城市”宣傳車點P從點O出發(fā)，沿OB運動至點B停止，宣傳車點Q從點C出發(fā)，沿CD運動至點D停止，兩車同時出發(fā)，速度都是1米/秒；宣傳車音響半徑可達25米，（兩點間距離公式：|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$）
（1）求直線OC的解析式；
（2）幾秒時，△OPQ為等腰三角形？
（3）兩輛宣傳車的聲音是否會互相干擾？如果會，求出受干擾的時間多長；如果不會干擾，寫出理由．

Answer 1

分析 （1）設直線OC解析式為y=kx，把C坐標代入求出k的值，即可確定出直線OC解析式；
（2）分三種情況考慮：OP=PQ，PQ=QO，QO=OP，利用兩點間的距離公式分別求出時間即可；
（3）兩輛宣傳車的聲音會互相干擾，理由為：分別以點P、Q為圓心，25米為半徑的圓，當兩圓第一次相切時，開始干擾，當兩圓第二次相切時，干擾結束，設當t秒時，兩圓相切，利用兩點間的距離公式列出方程，求出方程的解得到t的值，即可求出受干擾的時間．

解答 解：（1）直線OC的解析式為y=kx，
把點C（130，40）代入得，k=$\frac{4}{13}$，
則直線OC的解析式為y=$\frac{4}{13}$x；
（2）∵△OPQ為等腰三角形，
∴OP=PQ或PQ=QO或QO=OP，
第①種：設t秒時，OP=PQ；
∴OP²=PQ²，即t²=40²+（130-2t）²，
解得：t=50或t=$\frac{370}{3}$；
第②種：設t秒時，PQ=QO；
易得：OP=2DQ，即t=2（130-t），
解得：t=$\frac{260}{3}$；
第③種：設t秒時，QO=OP；
∴QO²=OP²，即40²+（130-t）²=t²，
解得：t=$\frac{925}{13}$，
綜上所述，當t=50，t=$\frac{370}{3}$，t=$\frac{260}{3}$，t=$\frac{925}{13}$時，△OPQ為等腰三角形；
（3）會互相干擾，理由為：
依題意得，分別以點P、Q為圓心，25米為半徑的圓，當兩圓第一次相切時，開始干擾，當兩圓第二次相切時，干擾結束，
設當t秒時，兩圓相切，
∴PQ=50，即PQ²=2500，
∴40²+（130-2t）²=2500，
解得：t₁=5，t₂=8，
∴t₂-t₁=8-5=3（秒），
答：互相干擾時間為3秒．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求一次函數解析式，兩點間的距離公式，以及等腰三角形的性質，熟練掌握兩點間的距離公式是解本題的關鍵．