Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c與y軸交于點A（0，1），過點A的直線與拋物線交于另一點B（3，$\frac{5}{2}$），過點B作BC⊥x軸，垂足為C．點P是x軸正半軸上的一動點，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設OP的長度為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在線段OC上（不與點O、C重合）時，試用含m的代數(shù)式表示線段PM的長度；
（3）連結CM，BN，當m為何值時，以B、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）直接把AB兩點的坐標代入拋物線y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c，求出b、c的值即可得出拋物線的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)P、M兩點的坐標即可得出PM的長；
（3）根據(jù)點N在拋物線上可知N（m，-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{17}{4}$m+1），再由MN∥BC可知當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，分點P在線段OC上與點P在線段OC的延長線上兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c經過A（0，1）和點B（3，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\-\frac{5}{4}×9+3b+1=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=\frac{17}{4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}1=b\\ \frac{5}{2}=3k+b\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∵PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，$\frac{1}{2}$m+1），
∴PM=$\frac{1}{2}$m+1；

（3）由題意可得：N（m，-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{17}{4}$m+1），
∵MN∥BC，
∴當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，
當點P在線段OC上時，MN=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m，
又∵BC=$\frac{5}{2}$，
∴-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m=$\frac{5}{2}$，
解得m₁=1，m₂=2；
當點P在線段OC的延長線上時，MN=$\frac{5}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m，
∴$\frac{5}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m=$\frac{5}{2}$，
解得 m₁=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（不合題意，舍去），m₂=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
綜上所述，當m的值為1或2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$時，以B、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定與性質等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．