Question

19．如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且BF是⊙O的切線．
（1）求證：∠BAC=2∠CBF；
（2）若⊙O的半徑為5，sin∠CBF=$\frac{2}{5}$，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據(jù)圓周角的性質(zhì)求得AE⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三效合一的性質(zhì)得出∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}∠$BAC，然后根據(jù)弦切角定理得出∠CBF=∠BAE=$\frac{1}{2}∠BAC$；
（2）連接BD，由⊙O的半徑為5，解出AC=AB=10，根據(jù)勾股定理求出BC=2BE=8，在根據(jù)勾股定理列方程求解．

解答 （1）如圖1，證明；連接AE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠CBF-∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAC=2∠CBF；

（2）解：如圖2，連接BD，
∵AB=AC=2OB=10，
∵sin∠CBF=$\frac{2}{5}$，
∴∠BAE=$\frac{2}{5}$，
∴BE=4，
∴BC=2BE=8，
設(shè)CD=x，則AD=10-x，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠BCD=90°，
∴8²-x²=10²-（10-x）²，
解得：x=$\frac{16}{5}$，
∴CD=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理弦切角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形．