Question

16．如圖，正方形ABCD的長(zhǎng)為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，則四邊形EFGH面積的最小值是32cm²．

Answer 1

分析 先證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得到四邊形EFGH是正方形；再設(shè)四邊形EFGH面積為S，BE=xcm，則BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值．

解答 解：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}\\{AH=BE=CF=DG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；
設(shè)四邊形EFGH面積為S，設(shè)BE=xcm，則BF=（8-x）cm，
根據(jù)勾股定理得：EF²=BE²+BF²=x²+（8-x）²，
∴S=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
當(dāng)x=4時(shí)，S的最小值=32，
∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm²，
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要證明三角形全等和運(yùn)用二次函數(shù)才能得出結(jié)果．