Question

7．如圖，在△ABC，∠ACB=90°，BC=AC，AE是△ABC的角平分線，延長AC至點F，使FC=EC，連結(jié)BF，延長AE交BF于點G．
（1）求證：△ABG∽△BEG．
（2）判斷AG與BF的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）若AE=6，則EG•AG=9．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件證得△ACE≌△BCF，由全等三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠FBC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠CAE=∠BAE，等量代換得到∠CAE=∠FBC，即可得到結(jié)論；
（2）由∠CAE=∠CBF，∠AEC=∠BEG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BGE=∠ACE=90°，由垂直的定義即可得到結(jié)論；
（3）通過△BAG≌△FAG，得到BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，由于△ACE≌△BCF，得到BF=AE=6，求得BG=FG=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BG}{AG}=\frac{GE}{FG}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ACE與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CAE=∠FBC，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠AGB，
∴△ABG∽△BEG；

（2）AG⊥BF，
理由：∵∠CAE=∠CBF，∠AEC=∠BEG，
∴∠BGE=∠ACE=90°，
∴AG⊥BF；

（3）在△BAG與△FAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠FAG}\\{AG=AG}\\{∠AGB=∠AGF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△FAG，
∴BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，
∵△ACE≌△BCF，
∴BF=AE=6，
∴BG=FG=3，
∵∠GBE=∠CAE，
∴△BGE∽△FAG，
∴$\frac{BG}{AG}=\frac{GE}{FG}$，
即$\frac{3}{AG}=\frac{GE}{3}$，
∴EG•AG=9，
故答案為：9．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．