Question

1．已知：如圖，在直角坐標系xOy中，邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限，頂點A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．在等邊△OAB的邊上（點A除外）存在點D，使得△OCD為等腰三角形，請寫出所有符合條件的點D的坐標（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$0），（$\frac{2}{3}$，0），（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 如果△OCD為等腰三角形，那么分點D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點，C為頂點，D為頂點，分別討論，得出結(jié)果．

解答 解；如圖1，若點D在OA上時，OC=OD，則OD=OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
D點的坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
如圖2，若OD=CD時，
∵∠COD=30°，cos∠COD=$\frac{DQ}{OD}$，
∴cos30°=$\frac{DQ}{OD}$，
∴OD=$\frac{OQ}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$，
∴D點的坐標為（$\frac{2}{3}$，0）；

如圖2，當點D在BA上時，
若OD=CD，則點D在OC的垂直平分線上，設(shè)OC的垂直平分線DQ與x軸交于點P，
則∠APD=60°，OQ=CQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
過點D作DM⊥PA于M，則PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=$\frac{OQ}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$，
∴OM=$\frac{4}{3}$，DM=tan60°•PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴D點的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；

如圖4，當點D在OB上時，
若OD=OC，則OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
過點D作DM⊥OA于M，則OM=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DM=1，
則D點的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）；
綜上所述；符合條件的點D的坐標是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$0）或（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論時，做到不重復(fù)，不遺漏．