Question

8．某商場(chǎng)銷售一種成本為每件20元的商品，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）設(shè)商場(chǎng)銷售該種商品每月獲得利潤(rùn)為w（元），寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果商場(chǎng)想要銷售該種商品每月獲得2000元的利潤(rùn)，那么每月成本至少多少元？
（3）為了保護(hù)環(huán)境，政府部門要求用更加環(huán)保的新產(chǎn)品替代該種商品，商場(chǎng)若銷售新產(chǎn)品，每月銷售量與銷售價(jià)格之間的關(guān)系與原產(chǎn)品的銷售情況相同，新產(chǎn)品為每件22元，同時(shí)對(duì)商場(chǎng)的銷售量每月不小于150件的商場(chǎng)，政府部門給予每件3元的補(bǔ)貼，試求定價(jià)多少時(shí)，新產(chǎn)品每月可獲得銷售利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y=-10x+500，利潤(rùn)=（定價(jià)-成本價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價(jià)；
（3）根據(jù)銷售量每月不小于150件的商場(chǎng)，政府部門給予每件3元的補(bǔ)貼，則利潤(rùn)=（定價(jià)-成本價(jià)+補(bǔ)貼）×銷售量，從而列出關(guān)系式；運(yùn)二次函數(shù)性質(zhì)求出結(jié)果．

解答 解：（1）由題意，得：w=（x-20）•y，
=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
（2）由題意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解這個(gè)方程得：x₁=30，x₂=40，
當(dāng)x=30時(shí)，成本為20×（-10×30+500）=4000元
當(dāng)x=40時(shí)，成本為20×（-10×40+500）=2000元
答：想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，每月成本至少2000元．
（3）當(dāng)銷售量每月不小于150件時(shí)，即-10x+500≥150，
解得：x≤35，
由題意，得：
w=（x-22+3）•y
=（x-19）•（-10x+500）
=-10x²+690x-9500
=-10（x-34.5）²+2402.5
∴當(dāng)定價(jià)34.5元時(shí)，新產(chǎn)品每月可獲得銷售利潤(rùn)最大值是2402.5元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．