Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于點D，BD交OC于點E，若AC=4，AB=5，則BE=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=90°，然后利用勾股定理列式求出BC，根據(jù)垂徑定理可得求出CD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根據(jù)三角形的重心到三角形的頂點的距離等于到中點的距離的2倍求解即可．

解答 解：如圖，連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AC為弦，OD⊥AC于點D，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵CD、BD是△ABC的中線，
∴點E是△ABC的重心，
∴BE=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的重心，綜合題難度較大，三角形的重心到三角形的頂點的距離等于到中點的距離的2倍只出現(xiàn)在部分版本教材，此題可以酌情使用．