Question

一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與x軸、y軸相交于A（2，0）、B（0，-2）兩點，又與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象相交于C、D兩點，BD=AC=

2

．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△COD的面積；
（3）y軸上是否存在點P，使△OCP為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式，通過三角形相似求得C的坐標進而求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）聯(lián)立方程，求得C、D的坐標，根據(jù)S_△COD=S_△BOC+S_△BOD即可求得；
（3）設P（0，n），分三種情況分別討論求得．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與x軸、y軸相交于A（2，0）、B（0，-2）兩點，
∴

2k+b=0 b=-2

，
解得

k=1 b=-2

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-2，
∵A（2，0）、B（0，-2），
∴AB=2

2

，
如圖，過C點作CE⊥x軸與E，
∴△AOB∽△AEC，
∴

CE

OB

=

AC

AB

=

AE

OA

，
∵BD=AC=

2

，
∴CE=1，AE=1
∴OE=3，
∴C（3，1），
代入反比例函數(shù)y=

m

x

中，1=

m

3

，解得m=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；
（2）解

y=x-2 y= 3 x

得

x=3 y=1

或

x=-1 y=-3

，
∴C（3，1），D（-1，-3），
∴S_△COD=S_△BOC+S_△BOD=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；
（3）存在；
∵C（3，1），
∴OC=

32+12

=

10

，
∵點P在y軸上，
∴設P（0，n），
當OP=OC時，則n=±

10，

∴P的坐標為（0，

10

）或（0，-

10

）；
當OP=PC時，則n²=3²+（1-n）²，解得n=5，
∴P的坐標為（0，5）；
當OC=PC時，則（

10

）²=3²+（1-n）²，解得n=0或n=2，
∴P的坐標為（0，2）；
綜上，P的坐標為（0，

10

）或（0，-

10

）或（0，5）或（0，2）；

點評：本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的求法等，作出輔助線證明三角形相似是關鍵．