Question

11．如圖，△ABC與△DCE均為等邊三角形，且B、C、E在同一直線上，分別連接BD、AE相交于點(diǎn)P，連接PC，求證：
（1）∠APB=60°．
（2）∠BPC=60°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠CBD，設(shè)AC與BP交于O點(diǎn)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CH，CK⊥PB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S_△ACE=S_△BCD，BD=AE，得到CH=CK，推出CP為∠BPC角平分線，設(shè)AC與BP交于點(diǎn)O，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC與△DCE均為等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
則∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
設(shè)AC與BP交于O點(diǎn)，由∠AOP=∠BOC可得∠APO=∠BCO=60°，
即∠APB=60°；
（2）過點(diǎn)C作CH，CK⊥PB，
∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，BD=AE，
∴CH=CK，
∵CH⊥AE，CK⊥PB，
∴CP為∠BPC角平分線，
設(shè)AC與BP交于點(diǎn)O，
∵∠AOP=∠BOC，∠EAC=∠PBC，
∴∠APB=∠ACB=60°，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB）=60°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．