Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），與y軸交于C（，）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，求△BCD的面積；

（3）設(shè)M是（1）所得拋物線上第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l⊥x 軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)N。試問(wèn)：線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）y=x2﹣2x﹣3;（2）3;（3）

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,則∠DEC=∠BOC=90°根據(jù)B（，），C（，）可得OB=3,OC=3 把y=x2﹣2x﹣3 配方的為：求出頂點(diǎn)D（1，-4），所以可得OE=4，DE=1 ，CE=OE-OC=4-3=1，從而求出△BCD的面積

（3）設(shè)直線BC的關(guān)系式為，將 B（，），C（，）帶入中，求得直線DE的關(guān)系式為，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在直線BC上，MN⊥x 軸于點(diǎn)F，M、N在第四象，求出線段MN長(zhǎng)度有最大值即可求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)

試題解析：【解析】
（1）將B（，），C（，）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ：

解得：b=-2,c=-3；

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,則∠DEC=∠BOC=90°

∵B（，），C（，）∴OB=3,OC=3

y=x2﹣2x﹣3 配方的：

∴D（1，-4）

∴OE=4，DE=1 ∴CE=OE-OC=4-3=1

∴

．

（3）設(shè)直線BC的關(guān)系式為

將 B（，），C（，）帶入中

則

解得k=1，n=-3

∴直線DE的關(guān)系式為

∵點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在直線BC上

又∵M(jìn)N⊥x 軸于點(diǎn)F，M、N在第四象限

∴設(shè)、

∴MF=，NF=

∴MN=

∴當(dāng)時(shí)，線段MN長(zhǎng)度有最大值為，此時(shí)M的坐標(biāo)為

考點(diǎn)：1．待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式的確定；2二次函數(shù)的性質(zhì)；3．圖形面積的求法