Question

4．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺規(guī)作圖：作⊙C，使它與AB相切于點(diǎn)D，與AC交于E．保留作圖痕跡，不寫作法，請標(biāo)明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的圖中，若BC=3，∠A=30°，求$\widehat{DE}$的長．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)，然后以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圖即可；
（2）利用切線的性質(zhì)得∠ADC=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ACB中計(jì)算出AC=3$\sqrt{3}$，在Rt△ACD中計(jì)算出∠ACD=60°，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算$\widehat{DE}$的長．

解答 解：（1）如圖，⊙C為所作；

（2）∵⊙C與AB相切于點(diǎn)D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACB中，∵∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\widehat{DE}$的長=$\frac{60•π•\frac{3\sqrt{3}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了基本作圖和弧長公式．