Question

18．如圖，在⊙O中，AB是直徑，C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，弦AD與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C的直線CF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且∠FCD=CBD．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若AB=4，∠ABC=30°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理可知OC⊥AD，只要證明CF∥AD即可證明CF⊥OC，由此解決問題．
（2）先證明△AOC、△COD都是等邊三角形，再根據(jù)S_陰=S_△CDF-（S_扇形COD-S_△COD）計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖，連接OC．
∵C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，
∴OC⊥AD，
∵∠FCD=CBD，∠CBD=∠ADC，
∴∠FCD=∠CDA，
∴CF∥AD，
∴CF⊥OC，
∴CF是⊙O切線．
（2）解：∵AB=4，∠ABC=30°，AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=60°，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=∠COD=60°=∠DOB，
∴△COD是等邊三角形，
∴AC=CD=BD=2，
∵CF∥AD，
∴∠F=∠ADB=90°，
在RT△CDF中，∠FCD=30°，CD=2，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=1，CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_陰=S_△CDF-（S_扇形COD-S_△COD）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、垂徑定理、扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分面積，屬于中考�？碱}型．