Question

3．如圖，已知拋物線y=-x²通過(guò)平移后得到…，y₁=-（x-1）²+2，y₂=-（x-2）²+4，y₃=-（x-3）²+6，…，平移后的頂點(diǎn)…，P₁，P₂，P₃，…P_k（k為整數(shù)）依次都在格點(diǎn)上，這些拋物線稱為“好頂點(diǎn)拋物線”．
（1）寫(xiě)出平移后拋物線y_k的解析式（用k表示）．
（2）若平移后的拋物線y_k與拋物線y=-x²交于點(diǎn)F，其對(duì)稱軸與拋物線y=-x²交于點(diǎn)E，若tan∠FP_kE=$\frac{1}{3}$，求整數(shù)k的值．
（3）已知-6≤k≤6，若平移后拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A_k，以A_kP_k為邊向右作正方形A_kP_kB_kC_k，判斷：正方形的頂點(diǎn)B_k是否恰好是其他“好頂點(diǎn)拋物線”上的點(diǎn)？若恰好是，求出該整數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）觀察平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，然后依據(jù)規(guī)律即可得到平移后拋物線y_k的解析式；
（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PE，垂足為G．由y_K=-（x-k）²+2k可知頂點(diǎn)P_k（k，2k），對(duì)稱軸為x=k，對(duì)稱軸與拋物線y=-x²的交點(diǎn)為E（k，-k²），然后求得拋物線的交點(diǎn)F（$\frac{k-2}{2}$，-$\frac{（k-2）^{2}}{4}$），最后依據(jù)tan∠FP_kE=$\frac{1}{3}$列方程求解即可；
（3）平移后的拋物線的頂點(diǎn)P_k的坐標(biāo)是（k，2k），當(dāng)k＞0時(shí)，點(diǎn)B_k的坐標(biāo)是（3k，2k）．將B_k（3k，2k）代入y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）得到關(guān)于k和m的方程，然后根據(jù)k和m為整數(shù)可求得k的值；當(dāng)k＜0時(shí)，則B_k的坐標(biāo)是（-k，2k）．將B_k（-k，2k）代入y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）得到關(guān)于k和m的方程，由k、m為整數(shù)，可求得k的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²通過(guò)平移后得到…，y₁=-（x-1）²+2，y₂=-（x-2）²+4，y₃=-（x-3）²+6，…，
∴y_K=-（x-k）²+2k；
（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PE，垂足為G．

由y_K=-（x-k）²+2k可知頂點(diǎn)P_k（k，2k），對(duì)稱軸為x=k，對(duì)稱軸與拋物線y=-x²的交點(diǎn)為E（k，-k²），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}}\\{y=-（x-k）^{2}+2k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k-2}{2}}\\{y=-\frac{（k-2）^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{k-2}{2}$，-$\frac{（k-2）^{2}}{4}$），
∵tan∠FP_kE=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{FG}{PG}=\frac{1}{3}$即$\frac{|k-\frac{k-2}{2}|}{|2k+\frac{（k-2）^{2}}{4}|}$=$\frac{1}{3}$，整理得：6|k+2|=（k+2）²，
解得k=4或-8或-2；
當(dāng)k=-2時(shí)原方程無(wú)意義，故k=-2不是原方程的根．
∴k的值為4或-8．
（3）∵平移后的拋物線的頂點(diǎn)P_k的坐標(biāo)是（k，2k），由題意得A_kP_k=P_kB_k=2|k|．
當(dāng)k＞0時(shí)，點(diǎn)B_k的坐標(biāo)是（3k，2k）．
設(shè)B_k（3k，2k）恰好落在拋物y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）上，則-[3k-（k+m）]²+2（k+m）=2k．
整理得：（2k-m）²=2m．
解得：2k=±$\sqrt{2m}$+m．
∵k、m為整數(shù)，
∴當(dāng)m=2時(shí)，k=2或0（0不合題意，舍去）；
當(dāng)m=8時(shí)，k=2或6；
當(dāng)m=18時(shí)，k=6或12（12不合題意，舍去）．
當(dāng)k＜0時(shí)，則B_k的坐標(biāo)是（-k，2k）．
設(shè)B_k（-k，2k）恰好落在拋物線y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）上，則-[-k-（k+m）]²+2（k+m）=2k．
整理得：（-2k-m）²=2m．
解得：2k=±$\sqrt{2m}$-m．
∵k、m為整數(shù)，
∴當(dāng)m=2時(shí)，k=-2或0（0不合題意，舍去）；當(dāng)m=18時(shí)，k=-6或-12（-12不合題意，舍去）．
綜上所述，可知當(dāng)k=±2或k=±6時(shí)，正方形的頂點(diǎn)Bk恰好在其他的“好頂點(diǎn)拋物線”上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、銳角三角函數(shù)的定義、點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，找出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)存在的規(guī)律是解答問(wèn)題（1）的關(guān)鍵，求得點(diǎn)F、E、P的坐標(biāo)是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)題意得到k和m的方程，并根據(jù)k和m為整數(shù)確定出k和m的值是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．