Question

20．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{1}{6}$x（x+5$\sqrt{3}$）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，在第二象限作等邊△ABO，點(diǎn)P為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，在BP的右側(cè)作等邊△BPQ，若點(diǎn)Q在拋物線上時(shí)，則AP的長(zhǎng)為2．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得AB=OA=5$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，作PM⊥AB于M，QN⊥x軸于N，設(shè)PA=m，解直角三角形求得PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AM=$\frac{1}{2}$m，BM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，進(jìn)而證得△PBM≌△QPN（AAS），得出QN=PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，PN=BM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，ON=$\frac{1}{2}$m，得出點(diǎn)Q（$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），代入拋物線解析式即可求得m的值．

解答 解：令y=0，則y=$\frac{1}{6}$x（x+5$\sqrt{3}$）=0，
解得x₁=0，x₂=-5$\sqrt{3}$，
A（-5$\sqrt{3}$，0），
∴OA=5$\sqrt{3}$，
∵△ABO是等邊三角形，
∴AB=OA=5$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，
作PM⊥AB于M，QN⊥x軸于N，
設(shè)PA=m，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AM=$\frac{1}{2}$m，
∴BM=AB-AM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，
∵△BPQ是等邊三角形，
∴∠BPQ=60°，PB=PQ，
∵∠BPO=∠A+∠ABP=∠BPQ+∠QPN，
∴∠PBM=∠QPN，
在△PBM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBM=∠QPN}\\{∠PMB=∠QNP=90°}\\{PB=PQ}\end{array}\right.$
∴△PBM≌△QPN（AAS），
∴QN=PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，PN=BM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，
∴ON=PN-OP=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m-（5$\sqrt{3}$-m）=$\frac{1}{2}$m，
∴點(diǎn)Q（$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$m+5$\sqrt{3}$），
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∴AP的長(zhǎng)為2，
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．