Question

3．已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-1與x軸正半軸交于C點，頂點為D點．
（1）求點C，D的坐標；
（2）如圖1，過O點任作直線交拋物線于A、B，過B點作BE⊥x軸于E，求OB-BE的值；
（3）如圖2，過P（0，-2）作直線交y軸右端的拋物線于M、N，若PM=PN，求直線MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程可得點C坐標，利用配方法可得點D坐標．
（2）設(shè)B（m，$\frac{1}{4}$m²-1），求出OB、BE（用m的代數(shù)式表示）即可解決問題．
（3）如圖2中，作ME⊥y軸于E，NF⊥y軸于F．由PM=MN，可以假設(shè)M（m，$\frac{1}{4}$m²-1），N（2m，m²-1），由ME∥NF，得到$\frac{ME}{NF}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，列出方程求出m，求出點M坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-1，令y=0，得$\frac{1}{4}$x²-1=0，解得x=±2，
∴點C坐標（2，0），拋物線頂點D坐標（0，-1）．

（2）設(shè)B（m，$\frac{1}{4}$m²-1），
則OB=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∵BE⊥x軸于E，
∴BE=$\frac{1}{4}$m²-1，
∴OB-BE=$\frac{1}{4}$m²+1-（$\frac{1}{4}$m²-1）=2．

（3）如圖2中，作ME⊥y軸于E，NF⊥y軸于F．

∵PM=MN，
∴可以假設(shè)M（m，$\frac{1}{4}$m²-1），N（2m，m²-1），
∵ME∥NF，
∴$\frac{ME}{NF}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1+\frac{1}{4}{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴M（$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$），
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{\sqrt{2}k+b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3\sqrt{2}}{4}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線MN的解析式為y=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x-2．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理．平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．