Question

15．如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為弧BC中點(diǎn)，AD平分∠BAC交BC于D，連接AD、DE．
（1）求證：∠ADB=∠CDE；
（2）AC交DE于H，且∠DHC=90°，連接BE分別交AD、AC于M、N，求證：BM=EN．
（3）在（1）的條件下，連接BE交AD于M，連接CM交DE于K，若CM⊥DE，若BD=2$\sqrt{10}$，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長(zhǎng)AD交⊙O于F，連接OF．首先證明E、O、F共線(xiàn)，再證明∠EDO=∠FDO，由∠ADB=∠FDO即可證明．
（2）如圖2中，連接AE，想辦法證明△BAM≌△EAN即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，連接AE、EC、BF．首先證明△EOD≌△COH，推出△BDM≌△EHM，BM=EM，再證明△BDM∽△CDE，推出$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BM}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求出CD，再由△FMB∽△EMA，
推出$\frac{BM}{BF}$=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AM=a，則AE=2a，EM=BM=$\sqrt{5}$a，BF=2$\sqrt{5}$a，F(xiàn)M=5a，在Rt△AFE中，根據(jù)AF²+AE²=EF²列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)AD交⊙O于F，連接OF．

∵FA平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CF}$，
∴OF⊥BC，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{EC}$，
∴EO⊥BC，
∴E、O、F共線(xiàn)，
∴DO垂直平分線(xiàn)段EF，
∴DE=DF，
∴∠ODE=∠ODF，
∵∠ADB=∠ODF，
∴∠ADB=∠CDE．

（2）證明：如圖2中，連接AE．

∵AC⊥DE，
∴∠DHC=90°=∠DOE=90°，
∴∠C+∠CDH=90°，∠CDH+∠DEO=90°，
∴∠C=∠DEO=∠F，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，
∴∠ABM=∠AEN，AB=AE，
∵∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BOF=45°，∠EAN=$\frac{1}{2}$∠EOC=45°，
∴∠BAM=∠EAN，
∴△BAM≌△EAN，
∴BM=EN．

（3）解：如圖3中，連接AE、EC、BF．

∵CM⊥DE，
∴∠CKD=90°=∠EOD，
∴∠DEO+∠EDO=90°，∠EDO+∠HCO=90°，
∵EO=CO，∠EOD=∠COH=90°，
∴△EOD≌△COH，
∴OD=OH，∠EDO=∠CHO=∠EHK=∠ADB，∵OB=OE，
∴BD=EH，∵∠DBM=∠HEM=45°，
∴△BDM≌△EHM，
∴BM=EM，
∵EB=EC，
∴EC=2BM，
∵∠DBM=∠ECD=45°，∠MDB=∠EDC，
∴△BDM∽△CDE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BM}{EC}$=$\frac{1}{2}$，∵BD=2$\sqrt{10}$，
∴CD=4$\sqrt{10}$，
∴BC=EF=6$\sqrt{10}$，
∵∠FBM=∠MAE=90°，∠FMB=AME，
∴△FMB∽△EMA，
∴$\frac{BM}{BF}$=$\frac{AM}{AE}$，
∵BF=BE=2BM，
∴$\frac{BM}{BF}$=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AM=a，則AE=2a，EM=BM=$\sqrt{5}$a，BF=2$\sqrt{5}$a，F(xiàn)M=5a，
∴AF=6a，
在Rt△AFE中，∵AF²+AE²=EF²，
∴（6a）²+（2a）²=（6$\sqrt{10}$）²，
∵a＞0，
∴a=3，
∴AM=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．