Question

5．設(shè)a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²，（n為正整數(shù)）
（1）試說(shuō)明a_n是8的倍數(shù)；
（2）若△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a_k、a_k+1、a_k+2（k為正整數(shù)）
①求k的取值范圍．
②是否存在這樣的k，使得△ABC的周長(zhǎng)為一個(gè)完全平方數(shù)？若存在，試舉出一例，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以對(duì)a_n進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而可以解答本題；
（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以得到a_k、a_k+1、a_k+2的值，從而可以得到k的取值范圍；
②根據(jù)①中a_k、a_k+1、a_k+2的值，可以求得△ABC的周長(zhǎng)，從而可以解答本題．

解答 解：（1）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²
=[（2n+1）-（2n-1）][（2n+1）+（2n-1）]
=2×4n
=8n，
∵8n能被8整除，
∴a_n是8的倍數(shù)；
（2）①由（1）可得，a_k=8k，a_k+1=8（k+1），a_k+2=8（k+2），
∴8k+8（k+1）＞8（k+2），
解得，k＞1，
即k的取值范圍是：k＞1；
②存在這樣的k，使得△ABC的周長(zhǎng)為一個(gè)完全平方數(shù)，
理由：∵△ABC的周長(zhǎng)是：8k+8（k+1）+8（k+2）=24k+24=24（k+1）=4×6×（k+1），
∴△ABC的周長(zhǎng)為一個(gè)完全平方數(shù)，則k+1=6得k=5即可，
即當(dāng)k=5時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為一個(gè)完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查整式的混合運(yùn)算，三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．