Question

已知：D為△ABC所在平面內(nèi)一點，且DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，DE=DF．
（1）當點D在BC邊上時（如圖），判斷△ABC的形狀（直接寫出答案）；
（2）當點D在△ABC內(nèi)部時，（1）中的結(jié)論是否一定成立？若成立，請證明；若不成立，請舉出反例（畫圖說明）．
（3）當點D在△ABC外部時，（1）中的結(jié)論是否一定成立？若成立，請證明；若不成立，請舉出反例（畫圖說明）．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）用（HL）證明△EBD≌△FCD，從而得出∠EBD=∠FCD，即可證明△ABC是等腰三角形；（2）先畫圖，根據(jù)已知可證明△EBD≌△FCD，從而得出∠EBD=∠FCD，由DB=DC，可得∠DBC=∠DCB，從而可得∠EBD=∠FCD，即可證明△ABC是等腰三角形；（3）通過畫圖可知當點D在在△ABC外部時，（1）中的結(jié)論不一定成立，

解答：解：（1）△ABC是等腰三角形．
證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，
∵DB=DC，
在Rt△EBD與Rt△FCD中，

DE=DF DB=DC

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）如圖，當點D在△ABC內(nèi)部時，△ABC是等腰三角形成立，
理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，
∵DB=DC，
在Rt△EBD與Rt△FCD中，

DE=DF DB=DC

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC=∠FCD+∠DCB，
即∠EBD=∠FCD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）當點D在在△ABC外部時，（1）中的結(jié)論不一定成立，
反例如圖：

點評：本題主要考查三角形全等的判定、性質(zhì)及學等腰三角形的判定方法，證明此題的關鍵是用（HL）證明△EBD≌△FCD，從而得出∠EBD=∠FCD，即可證明△ABC是等腰三角形．