Question

如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：
（1）用含有t的代數(shù)式表示AE=

 

．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，DQ=AP．
（3）如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形．
（4）直接寫出：當(dāng)DQ的長最小時(shí)，t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分表示出線段AE即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）當(dāng)□AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，根據(jù)∠BAC的余弦函數(shù)的定義求解即可；
（4）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)特征結(jié)合DQ的長度的特征求解即可．

解答：解：（1）如圖1，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四邊形AQPD為平行四邊形，
∴AE=

1

2

AP=5-t．
故答案是：5-t；

（2）如圖1，當(dāng)DQ=AP時(shí)，□AQPD是矩形．
則PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC  
∴

2t

10-2t

=

8

10

，
解得 t=

20

9

∴當(dāng)t=

20

9

時(shí)，DQ=AP；

（3）如圖2，當(dāng)□AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP
則cos∠BAC=

AE

AQ

=

AC

AB

即 

5-t

2t

=

4

5

，
解得  t=

25

13

∴當(dāng)t=

25

13

時(shí)，□AQPD是菱形；

（4）如圖3，當(dāng)DQ⊥AC時(shí)，DQ的長度最�。畡t
cos∠BAC=

AQ

AE

=

AC

AB

，即

2t

5-t

=

4

5

，
解得t=

10

7

．
∴當(dāng)DQ的長最小時(shí)，t=

10

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合知識(shí)，正確的利用平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)得到正方形是解決本題的關(guān)鍵．此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大．