Question

14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)、D是BC上兩點(diǎn)，E是AF延長線上一點(diǎn)，∠B=∠1，∠E=∠2，BF=kDE．試探究AB、BC、DE之間的數(shù)量關(guān)系．（用含有k的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 延長BC到G，使BG=AB，由∠B=∠1，∠2=∠E，得到DE=DF，$\frac{DE}{DF}=\frac{BG}{AB}$=1，推出△DEF∽△BAG，于是得到∠G=∠2=∠CFA，證得△GAF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CG=CF，設(shè)ED=x，則FD=x，F(xiàn)B=kxBC=kx=CF，①，由于GC=CF=GB-BC，②，于是得到BC-kx=GB-BC，即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長BC到G，使BG=AB，
∵∠B=∠1，∠2=∠E，
∴DE=DF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BG}{AB}$=1，
∴△DEF∽△BAG，
∴∠G=∠2=∠CFA，
∴△GAF是等腰三角形，
∵AG⊥GF，
∴CG=CF，
∵AB=GB，GB=GC=BC，
設(shè)ED=x，則FD=x，F(xiàn)B=kxBC=kx=CF，
∵GC=CF=GB-BC，
∴BC-kx=GB-BC，
∵GB=AB，
∴2BC=kDE=AB．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．