Question

5．如圖．點(diǎn)A，B在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（0，2），（a，4），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長的速度向上移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l：y=-2x+m與過點(diǎn)B且平行于x軸的直線交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，求m的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，OM是△OPN的中線？
（3）若直線l與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有兩個(gè)公共點(diǎn)．請(qǐng)結(jié)合圖象指出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出m與t之間的關(guān)系，再代入t=2求出點(diǎn)m的值，此題得解；
（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可找出直線MB的解析式，聯(lián)立直線l與直線MB的解析式成方程組，解方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解方程即可得出t值；
（3）將直線l的解析式代入雙曲線中，整理得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合根的判別式即可得出m的取值范圍，再由m、t之間的關(guān)系即可得出t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2+t），
將點(diǎn)P（0，2+t）代入y=-2x+m中，得：2+t=m，
當(dāng)t=2時(shí)，m=2+2=4，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，m的值為4．
（2）∵B（a，4），
∴直線MB的解析式為y=4．
聯(lián)立直線l與直線MB的解析式成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{y=-2x+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-4}{2}}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{m-4}{2}$，4）．
∵OM是△OPN的中線，
∴點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，
∴4×2=0+2+t，
解得：t=6．
∴當(dāng)t=6秒時(shí)，OM是△OPN的中線．
（3）將y=-2x+m代入y=$\frac{2}{x}$中，得：-2x+m=$\frac{2}{x}$，
即2x²-mx+2=0．
∵直線l與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=（-m）²-4×2×2＞0，
解得：m＞4或m＜-4，
∵m=2+t，t≥0，
∴2+t＞4，解得：t＞2．
∴若直線l與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有兩個(gè)公共點(diǎn)，t的取值范圍為t＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解二元一次方程組以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出m與t之間的關(guān)系；（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)找出關(guān)于t的一元一次方程；（3）由根的判別式找出m的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根的判別式找出不等式是關(guān)鍵．