Question

17．對于整數(shù)n≥3，用φ（n）表示所有小于n的素數(shù)的乘積．求滿足條件φ（n）=22n-32的所有正整數(shù)n．

Answer 1

分析 首先利用n＞11得出不符合要求，進而利用7＜n≤11，以及5＜6≤7、3＜n≤5，n=3分別分析得出符合題意的答案．

解答 解：若n＞11，則11整除φ（n），但11不能整除22n-32．
因此，n＞11不符合要求．故，n≤11．          
若7＜n≤11，則φ（n）=2×3×5×7=210，
由210=22n-32，
得n=11．
若5＜6≤7，則φ（n）=2×3×5=30，由30=22n-32，得正整數(shù)n不存在．
若3＜n≤5，則φ（n）=2×3=6，由6=22n-32，得正整數(shù)n不存在．
若n=3，則φ（n）=2，由2=22n-32，得正整數(shù)n不存在．
∴滿足條件的正整數(shù)n只有1個，n=11．              

解法二：由φ（n）=22n-32，得φ（n）-1024=22（n-48）．
由于φ（n）是偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)，因此，n-48是奇數(shù)．    
若n-48≥3，則n-48含有奇數(shù)的素數(shù)因子p，即p為奇素數(shù)，且p整除n-48．
由n-48＜n知，p整除φ（n）．由此p整除1024，矛盾．
故，n-48＜3，即n≤49，且n為奇數(shù)．                 
∵n≤49時，22n-32≤22×49-32=1046，
∴φ（n）≤1046．
又2×3×5×7=210，2×3×5×7×11=210×11＞1046．
∴n≤11．即n=3，5，7，9，11．                    
將n=3，5，7，9，11分別代入φ（n）=22n-32驗證，
n=3時，φ（3）=2，22n-32=34，不符合要求．
n=5時，φ（5）=2×3=6，22n-32=78，不符合要求．
n=7時，φ（7）=2×3×5=30，22n-32=122，不符合要求．
n=9時，φ（9）=2×3×5×7=210，22n-32=166，不符合要求．
n=11時，φ（11）=2×3×5×7=210，22n-32=210，符合要求．
∴滿足條件的正整數(shù)n只有1個，n=11．

點評 此題主要考查了數(shù)的整除性，正確分類討論求出n的值是解題關(guān)鍵．