Question

6．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，
（1）求k的值；
（2）利用圖形直接寫(xiě)出不等式$\frac{1}{2}$x＞$\frac{k}{x}$的解；
（3）過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=$\frac{1}{2}$x上，故將其橫坐標(biāo)代入直線的解析式，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式的解集；
（3）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，$\frac{8}{a}$），根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可得出四邊形APBQ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的面積為24可得出S_△OAP=6，分點(diǎn)P在直線AB上方及點(diǎn)P在直線AB下方兩種情況考慮，找出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，
∴$\frac{1}{2}$×4=2，即：A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），
∴k=4×2=8，
即：k的值為8．
（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，-2），
又∵不等式$\frac{1}{2}$x＞$\frac{k}{x}$的解，是函數(shù)圖象上直線位于雙曲線上方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值，
∴由圖象可知：不等式$\frac{1}{2}$x＞$\frac{k}{x}$的解是：-4＜x＜0和x＞4．
（3）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，$\frac{8}{a}$）．
∵P、Q關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A、B關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∴4S_△OAP=24，
∴S_△OAP=6．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的下方時(shí)，如圖1所示，
S_△OAP=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{a}$+2）（a-4）-$\frac{1}{2}$a•$\frac{8}{a}$=6，
∴a²-6a-16=0，
解得：a₁=-2，a₂=8，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，1）；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí)，如圖2所示，
S_△OAP=$\frac{1}{2}$a•$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{a}$+2）（4-a）-$\frac{1}{2}$×4×2=6，
∴a²+6a-16=0，
解得：a₁=2，a₂=-8，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，1）或（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式；（3）找出關(guān)于a的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)系數(shù)k是關(guān)鍵．