Question

7．已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四邊形AODE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理得四邊形AODE為平行四邊形，由矩形的判定定理得出四邊形AODE是矩形；
（2）證明△ABC是等邊三角形，得出OA=$\frac{1}{2}$×4=2，由勾股定理得出OB=2$\sqrt{3}$，由菱形的性質(zhì)得出OD=OB=2$\sqrt{3}$，即可求出四邊形AODE的面積．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四邊形AODE是矩形，
故四邊形AODE是矩形；

（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OA=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形AODE的面積=OA•OD=2$\sqrt{12}$=$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的判定以及菱形的性質(zhì)，還考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．