Question

如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的外心，弦CM⊥AB，CN是直徑，點(diǎn)F是

AB

的中點(diǎn)．求證：
（1）

AN

=

MB

；
（2）CF平分∠NCM．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）連接OF，根據(jù)垂徑定理求出OF⊥AB，推出CM∥OF，推出∠MCF=∠NCF=∠OFC，根據(jù)圓周角定理得出即可；
（2）連接OF，根據(jù)垂徑定理求出OF⊥AB，推出CM∥OF，推出∠MCF=∠NCF=∠OFC，即可得出答案．

解答：證明：（1）連接OF，
∵F為弧AB的中點(diǎn)，
∴弧AF=弧BF，OF⊥AB，
∵CM⊥AB，
∴CM∥OF，
∴∠MCF=∠OFC，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠MCF=∠OCF，
∴弧FN=弧FM，
∴

AN

=

MB

；

（2）∵連接OF，
∵F為弧AB的中點(diǎn)，
∴弧AF=弧BF，OF⊥AB，
∵CM⊥AB，
∴CM∥OF，
∴∠MCF=∠OFC，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠MCF=∠OCF，
即CF平分∠NCM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出∠MCF=∠NCF=∠OFC．