Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．將△ABC沿射線(xiàn)BC方向平移10cm，得到△DEF，A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F，連接AD．若有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以2cm/s速度沿D→A→C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以3cm/s的速度沿B→F→D向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，P、Q兩點(diǎn)中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)：
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在t的值，使四邊形PQCD是等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是否能成平行四邊形？若可以，請(qǐng)求出相應(yīng)的t值；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,平行四邊形的判定

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）分為兩種情況，當(dāng)Q在C的左側(cè)時(shí)，當(dāng)Q在C的右側(cè)時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出方程，求出即可；
（2）分為三種情況，畫(huà)出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程，求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：AD=BE=10cm，AB=DE=6cm，BC=EF=8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=DF=10，
當(dāng)P在線(xiàn)段DA上時(shí)，0≤t≤5，此時(shí)Q在BF上，
當(dāng)Q在C的左側(cè)時(shí)，如圖1，過(guò)P作PM⊥BF于M，
∵四邊形PQCD是等腰梯形，
∴CE=QM=10-8=2，
則2t=10-（3t-2），
解得：t=

8

5

；此時(shí)DP=CQ，
即此時(shí)四邊形是平行四邊形，
故此時(shí)不符合題意舍去；
當(dāng)Q在C的右側(cè)時(shí)，如圖2，
2t=2（10-3t）+3t-8，
解得：t=

12

5

；
即當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在t的值，使四邊形PQCD是等腰梯形，t的值是

12

5

；

（2）①當(dāng)P在AD上，Q在BF上時(shí)，即0≤t≤5時(shí)，如圖3，
當(dāng)Q在C的左側(cè)時(shí)，∵四邊形DCQP是平行四邊形，AD∥BC，
∴DP=CQ，
即2t=8-3t，
解得：t=

8

5

；
如圖4，當(dāng)Q在C的右側(cè)時(shí)，
∵DP=CQ，
∴2t=3t-8，
t=8，
∵0≤t≤5，
∴此種情況不符合舍去；
②當(dāng)P在AC上，Q在BF上時(shí)，即5＜t≤6時(shí)，如圖5，
∵AD∥CQ，
∴DP不平行于CQ，此時(shí)不符合題意；
③當(dāng)P在AC上，DF在BF上時(shí)，即6＜t≤

28

3

時(shí)，如圖6，
∵AC∥DF，
∴CP=DQ，
即10+10-2t=10+10+8-3t，
解得：t=8；
所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能成平行四邊形，相應(yīng)的t值是

8

5

或8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形性質(zhì)，解一元一次方程，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平移的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：用了分類(lèi)討論思想，難度偏大．