Question

16．已知x=2+$\sqrt{3}$是方程x²-5sinθ•x+1=0的一個(gè)根，且θ為銳角，求（$\frac{3}{4}$tanθ-$\frac{5}{3}$cosθ）²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 設(shè)方程的另一根為a，利用根與系數(shù)的關(guān)系式列出方程，求出a與sinθ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanθ、cosθ的值即可．

解答 解：∵關(guān)于x的方程x²-5sinθ•x+1=0的一個(gè)根為2+$\sqrt{3}$，且θ為銳角，設(shè)另一根為a，
∴2+$\sqrt{3}$+a=5sinθ，a（2+$\sqrt{3}$）=1，
解得：a=2-$\sqrt{3}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$，
則tanα=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$．
∴（$\frac{3}{4}$tanθ-$\frac{5}{3}$cosθ）²⁰¹⁶=（$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$-$\frac{5}{3}$×$\frac{3}{5}$）²⁰¹⁶=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．