Question

13．定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)菱形”，利用該定義完成以下各題：
（1）理解
如圖1，在四邊形ABCD中，若AB=BC（填一種情況），則四邊形ABCD是“準(zhǔn)菱形”；
（2）應(yīng)用
證明：對角線相等且互相平分的“準(zhǔn)菱形”是正方形；（請畫出圖形，寫出已知，求證并證明）
（3）拓展
如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BP方向平移得到△DEF，連接AD，BF，若平移后的四邊形ABFD是“準(zhǔn)菱形”，求線段BE的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用“準(zhǔn)菱形”的定義即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)題目意思畫出圖形，寫出已知和求證，再用正方形的判定定理即可得出結(jié)論；
（3）由“準(zhǔn)菱形”的定義分四種情況：利用定義直接得出結(jié)論即可．

解答 解：（1）由“準(zhǔn)菱形”的定義得出，AB=BC，
故答案為：AB=BC；

（2）已知：如圖，四邊形ABCD是“準(zhǔn)菱形”，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD，
求證：四邊形ABCD是正方形；
證明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∵四邊形ABCD是“準(zhǔn)菱形”，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形；

（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
由平移得，BE=AD，DE=AB=2，EF=BC=1，DF=AC=$\sqrt{5}$，
由“準(zhǔn)菱形”的定義分四種情況：
①當(dāng)AD=AB時(shí)，BE=AD=AB=2；
②當(dāng)AD=DF時(shí)，BE=AD=DF=$\sqrt{5}$，
③如圖1，當(dāng)BF=DF=$\sqrt{5}$時(shí)，延長FE交AB于點(diǎn)H，
∴FH⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠BEH=∠ABE=45°，
∴BE=$\sqrt{2}$BH，
設(shè)EH=BH=x，
∴FH=x+1，BE=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BFH中，BH²+FH²=BF²，
∴x²+（x+1）²=5，
∴x=1或x=-2（舍），
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$；
④如圖1，當(dāng)BF=AB=2時(shí)，
與③的方法一樣得：BH²+FH²=BF²，
設(shè)EH=BH=x，
∴x²+（x+1）²=4，
∴x=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$或x=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（舍），
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$，
綜上所述，BE=2或$\sqrt{5}$或$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義的理解，正方形的判定，勾股定理，平移的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論的思想解決問題，是一道中等難度的中考�？碱}．