Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

 

 

Answer 1

（1）見解析 （2）見解析

【解析】證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，

，

 

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF為等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．