Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過C作CD⊥PA，垂足為D，∠DAC=∠CAE．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD=4，AD=2，試求

AB

AE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC，因?yàn)椤螪AC=∠CAE．可得∠DAC=∠OCA，推出OC∥AD，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）過O作OM⊥AB于M．利用已知和切線的性質(zhì)可得四邊形DMOC是矩形，從而得到OC=DM，OM=CD=4．設(shè)半徑為x，在Rt△AMO中利用勾股定理列方程，從而求得半徑，繼而得到AE的長，再利用勾股定理求得AM的長度，再利用垂徑定理求得AB的長度，從而得到答案．

解答：解：（1）CD與⊙O相切，
理由：
連接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠CAE，
即∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，點(diǎn)C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD=4．
∵AD=2
設(shè)圓的半徑為x，則AM=x-AD=x-2，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴x²=（x-2）²+4²，
解得，x=5，
∴⊙O的半徑為5，則AE=10，
∵OA=5，OM=4，
∴AM=3，
∴AB=6，
∴

AB

AE

=

6

10

=

3

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、切線的判定、矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理、垂徑定理等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力及利用方程思想求解線段長度的方法．