Question

18．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c列方程組即可．
（2）先求出CD的長(zhǎng)，分兩種情形①當(dāng)CP=CD時(shí)，②當(dāng)DC=DP時(shí)分別求解即可．
（3）求出直線BC的解析式，設(shè)E$（m，-\frac{1}{2}m+2）$則F$（m，-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$b=\frac{3}{2}$，c=2，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）存在．如圖1中，∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴OC=2，OD=$\frac{3}{2}$，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$

①當(dāng)CP=CD時(shí)，可得P₁（$\frac{3}{2}$，4）．
②當(dāng)DC=DP時(shí)，可得P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{3}{2}，4）$或$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$或$（\frac{3}{2}，-\frac{5}{2}）$．

（3）如圖2中，

對(duì)于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=4，x₂=-1
∴B（4，0），A（-1，0），
由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)E$（m，-\frac{1}{2}m+2）$則F$（m，-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$，
EF=$（-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$-$（-\frac{1}{2}m+2）$=$-\frac{1}{2}{m^2}+2m=-\frac{1}{2}{（m-2）^2}+2$
∴$-\frac{1}{2}$＜0，∴當(dāng)m=2時(shí)，EF有最大值2，
此時(shí)E是BC中點(diǎn)，
∴當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△EBC面積最大，
∴△EBC最大面積=$\frac{1}{2}$×4×EF=$\frac{1}{2}$×4×2=4，此時(shí)E（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問(wèn)題．等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．