Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn)，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)Q，要使四邊形PQAM是菱形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)），在原拋物線x軸的上方部分取一點(diǎn)C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點(diǎn)D．若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點(diǎn)C是否存在？若存在求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

(1) y=x2﹣x．(2) P（1，﹣）．(3) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+2，）或（2﹣2，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；

（2）由四邊形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x軸，因此點(diǎn)P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)為1，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)C．由△CDA的面積是△MDA面積的2倍，可得點(diǎn)C縱坐標(biāo)是點(diǎn)D縱坐標(biāo)的3倍，由此列方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)其解析式為：y=ax2+bx．

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（2，﹣），

∴，解得，

∴二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣x．

（2）∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，

∴拋物線對(duì)稱軸為直線：x=2．

∵四邊形PQAM是菱形，

∴PQ=MA=2，PQ∥x軸．

∴點(diǎn)P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，

∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為1．

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣=﹣．

∴P（1，﹣）．

（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：y=﹣x2+x．

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，

∵△CDA的面積是△MDA面積的2倍，

∴CD=2MD，∴CM=3MD．

如圖所示，分別過點(diǎn)D、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，則有DE∥CF．

∴，

∴CF=3DE，MF=3ME．

設(shè)C（x，x2﹣x），

則MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+

∴D（x+，﹣（x+）2+（x+））．

∵CF=3DE，

∴x2﹣x=3[﹣（x+）2+（x+）]，

整理得：x2﹣4x﹣8=0，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2．

∴y1=，y2=，

∴存在滿足條件的點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+2，）或（2﹣2，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．