Question

10．如果一個多位自然數(shù)的任意兩個相鄰數(shù)位上，左邊數(shù)位上的數(shù)總比右邊數(shù)位上數(shù)大1，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“妙數(shù)”．例如：321，6543，98，…都是“妙數(shù)”．
（1）若某個“妙數(shù)”恰好等于其個位數(shù)的153倍，則這個“妙數(shù)”為765．
（2）證明：任意一個四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結(jié)果一定能被11整除．
（3）在某個三位“妙數(shù)”的左側(cè)放置一個一位自然數(shù)m作為千位上的數(shù)字，從而得到一新的四位自然數(shù)A，且m大于自然數(shù)A百位上的數(shù)字，是否存在一個一位自然數(shù)n，使得自然數(shù)（9A+n）各數(shù)位上的數(shù)字全都相同？若存在請求出m和n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這個“妙數(shù)”個位數(shù)字為x，根據(jù)題意判斷“妙數(shù)”的尾位數(shù)，從而得知這個“妙數(shù)”為3位數(shù)，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；
（2）設(shè)四位“妙數(shù)”的個位為x、兩位“妙數(shù)”的個位為y，分別表示出四位“妙數(shù)”和兩位“妙數(shù)”，再將四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1的結(jié)果除以11判斷結(jié)果是否為整數(shù)即可；
（3）設(shè)三位“妙數(shù)”的個位為z，可知A=1000m+111z+210，繼而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n-z，由-8≤n-z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位數(shù)一定是8，且該數(shù)為5位數(shù)，若存在則該數(shù)為88888，從而得出$\left\{\begin{array}{l}{1000（9m+z+1）=88000}\\{90+n-z=88}\end{array}\right.$即9m+z=87、n-z=-2，由m＞z+2知z＜m-2，而z=87-9m＜m-2，解之可得m＞8.9，即可得m值，進一步即可得答案．

解答 解：（1）設(shè)這個“妙數(shù)”個位數(shù)字為x，
若這個“妙數(shù)”為4位數(shù)，則其個位數(shù)字最大為6，根據(jù)題意可知這個“妙數(shù)”最大為6×153=918，不合題意；
∴這個“妙數(shù)”為3位數(shù)，根據(jù)題意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，
解得：x=5，
則這個“妙數(shù)”為765，
故答案為：765；

（2）由題意，設(shè)四位“妙數(shù)”的個位為x，則此數(shù)為1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210，
設(shè)兩位“妙數(shù)”的個位為y，則此數(shù)為10（y+1）+y=11y+10，
∴$\frac{1111x+3210-（11y+10）+1}{11}$=$\frac{11（101x-y）+3201}{11}$=101x-y+291，
∵x、y為整數(shù)，
∴101x-y+291也為整數(shù)，
∴任意一個四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結(jié)果一定能被11整除；

（3）設(shè)三位“妙數(shù)”的個位為z，由題意，得：
A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，
∴9A+n=9000m+999z+1890+n
=9000m+1000z+1890+n-z
=1000（9m+z+1）+800+90+n-z，
∵m、n是一位自然數(shù)，0≤z≤9，且z為整數(shù)，
∴-8≤n-z≤9，
∵9A+n的百位為8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，
∴9A+n為五位數(shù)，且9A+n=88888，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1000（9m+z+1）=88000}\\{90+n-z=88}\end{array}\right.$，
∴9m+z=87，n-z=-2，
∵m＞z+2，
∴z＜m-2，
∴z=87-9m＜m-2，
∴m＞8.9，
∵m是一個自然數(shù)，
∴m=9，
于是z=6，n=4，
答：m=9，n=4．

點評 本題主要考查因式分解的應(yīng)用及新定義下數(shù)字的規(guī)律，理解新定義是解題的根本，將9A+n分解成1000（9m+z+1）+800+90+n-z并判斷出其百位數(shù)是解題的關(guān)鍵．