Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=6cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/秒的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/秒的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，其中一動(dòng)點(diǎn)達(dá)到端點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)四邊形PDCQ的面積為四邊形ABCD面積的一半時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒；
（2）幾秒鐘后，P、Q與四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=tcm，CQ=2t，則PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm，四邊形ABQP和PDCQ是同高，因此根據(jù)梯形面積公式可得6-t+2t=t+10-2t，再解即可；
（2）設(shè)t秒后四邊形ABQP是平行四邊形；根據(jù)題意得：AP=tcm，CQ=2tcm，由AP=BQ得出方程，解方程即可；第二種情況：四邊形DCQP是平行四邊形，根據(jù)題意得：AP=xcm，CQ=2xcm，則PD=（6-x）cm進(jìn)而可得方程2x=6-x，再解即可．

解答 解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=tcm，CQ=2t，
∵AD=6cm，BC=10cm，
∴PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm，
當(dāng)四邊形PDCQ的面積為四邊形ABCD面積的一半時(shí)，
四邊形ABQP和PDCQ的面積相等，
則6-t+2t=t+10-2t，
解得：t=2，
答：當(dāng)四邊形PDCQ的面積為四邊形ABCD面積的一半時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒；

（2）設(shè)t秒后四邊形ABQP是平行四邊形；
根據(jù)題意得：AP=tcm，CQ=2tcm，
則BQ=（6-2t）cm；
∵AD∥BC，
∴當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，
∴t=10-2t，
解得：t=$\frac{10}{3}$，
即$\frac{10}{3}$秒時(shí)四邊形ABQP是構(gòu)成平行四邊形；
當(dāng)四邊形DCQP是平行四邊形，
根據(jù)題意得：AP=xcm，CQ=2xcm，
則PD=（6-x）cm；
∵AD∥BC，
∴當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形DCQP是平行四邊形，
∴2x=6-x，
解得：x=2，
因此2或$\frac{10}{3}$秒時(shí)直線PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定，以及梯形的面積計(jì)算，關(guān)鍵是掌握一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．梯形的面積=（上底+下底）×高÷2．