Question

19．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，⊙O的半徑0D、OE分別交BC、CA于點(diǎn)F、G，∠DOE=120°．探索四邊形0FCG的面積（圖中陰影部分）與△ABC面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（提示：連接0B、OC）

Answer 1

分析 連接OA，OB，證明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之間的關(guān)系即可．

解答 解：S_{四邊形OFCG}=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
理由：連接OA，OB和OC，則
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；
∴∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5．
在△OAG和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠2=∠1\\ OA=OC\\∠3=∠5\end{array}\right.$，
∴△OAG≌△OCF（ASA），
∴S_△OAG=S_△OCF，
∴S_△OAG+S_△OGC=S_△OCF+S_△OGC，即S_{四邊形OFCG}=S_△OAC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．