Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．
（1）求證：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理得MN=$\frac{1}{2}$AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM=$\frac{1}{2}$AC，由此即可證明．
（2）首先證明∠BMN=90°，根據(jù)BN²=BM²+MN²即可解決問題．

解答 （1）證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，
∴MN∥AD，MN=$\frac{1}{2}$AD，
在RT△ABC中，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM．
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=$\frac{1}{2}$AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵M(jìn)N∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN²=BM²+MN²，
由（1）可知MN=BM=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴BN=$\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．