Question

1．如圖1，已知平面直角坐標系內(nèi)的一點P（m，n），m，n滿足$\sqrt{m-n}$+（m-2）²=0．
（1）求P點坐標；
（2）如圖1，在直角坐標系中，∠P=45°，∠P的兩邊分別交坐標軸于A，B兩點，求△OAB的周長；
（3）如圖2，點M是y軸正半軸上一點，MH⊥OH，連接OP交MH于N點，若∠OMH=∠HON，求$\frac{MN}{OH}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（2）如圖1中，作PE∥OB于E，PF⊥AO于F，則四邊形PEOF是正方形，將△PEB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PFM．只要證明△APB≌△APM，推出AB=EB+AF，由此即可解決問題．
（3）如圖3中，作NE⊥OM于E，HF⊥OM于F交OP于J，HG⊥x軸于G，設(shè)點H坐標（m，n）．求出EN，F(xiàn)G，由△MNE∽△OHG，得到$\frac{MN}{OH}$=$\frac{EN}{GH}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m-n}$+（m-2）²=0，
$\sqrt{m-n}$≥0，（m-2）²≥0，
∴m=n=2，
∴點P坐標為（2，2）．

（2）如圖1中，作PE∥OB于E，PF⊥AO于F，則四邊形PEOF是正方形，將△PEB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PFM．

∵∠APB=45°，∠EPF=90°，
∴∠EPB+∠APF=∠APF+∠FPM=45°，
∴∠APB=∠APM，
在△APB和△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PM}\\{∠APB=∠APM}\\{PA=PA}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APM，
∴AB=AM=AF+FM=AF+EB，
∴△AOB的周長=OB+OA+AB=OB+OA+AF+EB=OE+OF=4．

（3）如圖3中，作NE⊥OM于E，HF⊥OM于F交OP于J，HG⊥x軸于G，設(shè)點H坐標（m，n）．

∵∠JOF=∠FJO=45°，'
∴OF=FJ=n，OJ=$\sqrt{2}$n，
∵∠FHO+∠FHM=90°，∠FMH+∠FHM=90°，
∴∠FHO=∠FMH=∠HOJ，
∴OJ=JH=$\sqrt{2}$n，
∵FH=OG，
∴m=n+$\sqrt{2}$n，
∴n=（$\sqrt{2}$-1）n，
∵FH∥OG，
∴∠FHO=∠HOG，
∵∠HON=∠FHO，
∴∠NOH=∠HOG，
∵∠OHN=∠HGO=90°，
∴△OHN∽△OGH，
∴$\frac{ON}{OH}$=$\frac{OH}{OG}$，
∴ON=$\frac{{m}^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}{m}^{2}}{m}$=（4-2$\sqrt{2}$）m，
∵EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ON，
∴EN=（2$\sqrt{2}$-2）m，
∵∠HOG=∠EMN，∠OGH=∠MEN=90°，
∴△MNE∽△OHG，
∴$\frac{MN}{OH}$=$\frac{EN}{GH}$=$\frac{（2\sqrt{2}-2）m}{（\sqrt{2}-1）m}$=2．

點評 本題考查三角形綜合題、非負數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是相交添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．