Question

7．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0）、B（-1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是該圖象上的動點(diǎn)；一次函數(shù)y=kx-4k（k≠0）的圖象過點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)Q．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點(diǎn)M、N分別在線段AQ、CQ上，點(diǎn)M以每秒3個單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)Q運(yùn)動，同時，點(diǎn)N以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)Q運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時，求t的值；
②線段PQ能否垂直平分線段MN？如果能，請求出此時直線PQ的函數(shù)關(guān)系式；如果不能請說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式；
（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結(jié)論得證；
（3）①求出△AMN面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△AMN面積最大時t的值．注意：由于自變量取值范圍的限制，二次函數(shù)并不是在對稱軸處取得最大值；
②直線PQ上的點(diǎn)到∠AQC兩邊的距離相等，則直線PQ能平分∠AQC，所以直線PQ能垂直平分線段MN．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x+1），
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x+1）=x²+4x+3；
（2）證明：當(dāng)x=-4時，y=3，
∴P（-4，3），
∵C（0，3），
∴PC=4且PC∥x軸，
∵一次函數(shù)y=kx-4k（k≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)y=0時，x=4，
∴Q（4，0），即OQ=4，
∴PC=OQ，又∵PC∥x軸，
∴四邊形POQC是平行四邊形，
∴∠OPC=∠AQC； 
（3）①過點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，則ND∥y軸．
∴△QND∽△QCO
∴$\frac{ND}{CO}$=$\frac{NQ}{CQ}$，
在Rt△OCQ中，
CQ=$\sqrt{CO2+OQ2}$=$\sqrt{32+42}$=5，
∴$\frac{ND}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴ND=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ND=$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{9}{10}$ （t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{48}{5}$，
∵0≤x≤$\frac{7}{3}$，
∴當(dāng)t=$\frac{7}{3}$時，△AMN的面積最大；  
②能．假設(shè)PQ垂直平分線段MN，則QM=NQ，
∴7-3t=5-t，
∴t=1．此時AM=3，
即點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，QM=NQ=4．
如圖，設(shè)PQ交y軸于點(diǎn)E，
∵∠MND=90°-∠NMD=∠MQE，
∴Rt△MND∽Rt△EQM，
∴$\frac{ND}{MD}$=$\frac{MQ}{ME}$．
∵ND=$\frac{12}{5}$，DQ=$\frac{16}{5}$，
∴MD=$\frac{4}{5}$，∴MD=$\frac{4}{3}$．
∴E（0，$\frac{4}{3}$），
∵Q（4，0），
∴直線QE為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
即直線PQ為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、相似三角形、平行四邊形、角平分線的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)．試題難度不大，需要注意的是（3）①問中，需要注意在自變量取值區(qū)間上求最大值，而不能機(jī)械地套用公式．