Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=

2

．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，則DF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：如圖，首先證明△ABG≌△BCD，得到AG=AD，這是解決該題的關(guān)鍵之一；進(jìn)而證明△AGF≌△ADF，得到DF=GF，這是解決該題的關(guān)鍵之二；證明△AGF∽△CBF，列出比例式，求出BG的長，即可解決問題．

解答：解：如圖，
∵∠ABC=90°，BE⊥CD，
∴∠EDB+∠EBD=∠EDB+∠DCB，
∴∠ABG=∠DCB；而AG⊥AB，
∴∠GAB=∠DBC；
在△ABG與△BCD中，

∠GAB=∠DBC AB=BC ∠ABG=∠DCB

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD；而AD=BD，
∴AG=AD；
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠CAB=45°，∠GAF=45°；
在△AGF與△ADF中，

AG=AD ∠GAF=∠DAF AF=AF

，
∴△AGF≌△ADF（SAS），
∴DF=GF；
在直角△ABG中，由勾股定理得：
BG²=AB²+AG²，而AB=

2

，BC=

2

2

，
∴BG=

10

2

；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴GF：BF=AG：BC=1：2，
∴GF=

1

3

BG=

10

6

，
∴DF=GF=

10

6

，
故答案為

10

6

．

點(diǎn)評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是整體觀察分析、大膽猜測推理、科學(xué)論證解答．