Question

14．觀察下列各個(gè)等式的規(guī)律：
第一個(gè)等式：$\frac{{{2^2}-{1^2}-1}}{2}$=1，第二個(gè)等式：$\frac{{{3^2}-{2^2}-1}}{2}$=2，第三個(gè)等式：$\frac{{{4^2}-{3^2}-1}}{2}$=3…
請用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：
（1）直接寫出第四個(gè)等式；
（2）猜想第n個(gè)等式（用n的代數(shù)式表示），并證明你猜想的等式是正確的．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的式子的變化規(guī)律可以寫出第四個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目中的式子的變化規(guī)律可以猜想出第n個(gè)等式并加以證明．

解答 解：（1）由題目中式子的變化規(guī)律可得，
第四個(gè)等式是：$\frac{{5}^{2}-{4}^{2}-1}{2}=4$；
（2）第n個(gè)等式是：$\frac{（n+1）^{2}-{n}^{2}-1}{2}=n$，
證明：∵$\frac{（n+1）^{2}-{n}^{2}-1}{2}$
=$\frac{[（n+1）+n][（n+1）-n]-1}{2}$
=$\frac{2n+1-1}{2}$
=$\frac{2n}{2}$
=n，
∴第n個(gè)等式是：$\frac{（n+1）^{2}-{n}^{2}-1}{2}=n$．

點(diǎn)評 本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中式子的變化規(guī)律，求出相應(yīng)的式子．