Question

12．探究：如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，直線l₃有一點(diǎn)P
（1）若點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系是否發(fā)生，并說明理由．
（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動時，首先過點(diǎn)P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時，由直線l₁∥l₂，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答 解：（1）如圖①，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動時，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
過點(diǎn)P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動，且在l₂下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動，且在l₁上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

點(diǎn)評 本題主要考查平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同位角相等，注意輔助線的作法．