Question

15．已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側作等邊三角形ACE和BCD，聯(lián)結AD、BE交于點P．

（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數(shù)量關系是：AD=BE．
（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．
（3）在（2）的條件下，∠APE大小是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化而發(fā)生變化，若變化寫出變化規(guī)律，若不變，請求出∠APE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質得到∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質證明；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質得到∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質證明；
（3）根據(jù)全等三角形的性質得到∠BEC=∠DAC，根據(jù)三角形內角和定理計算即可．

解答 解：（1）∵△ACE和△BCD都是等邊三角形，
∴∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，
∴∠ACE+∠DCE=∠DCB+∠DCE，即∠ACD=∠ECB，
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD，
∴AD=BE，
故答案為：AD=BE；
（2）AD=BE成立．
證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形，
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
（3）∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°，
如圖2，設BE與AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握等邊三角形的三條邊相等、三個角都是60°、全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．