Question

12．如圖，拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（-1，0），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接BM，求BM的長(zhǎng)．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A與點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則N（2，0），在Rt△BMN中，根據(jù)勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（-1，0），
∴將A（0，3），B（-1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3=c}\\{0=a-2+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
則拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{2a}$）得：D（1，4），
∵拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，
∴OE=1，
∴對(duì)稱軸為x=1，
∵點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為M，
∴M（2，3），
如圖所示：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，
則N（2，0），
∴BN=3，MN=3，
在Rt△BMN中，根據(jù)勾股定理得：BM=$\sqrt{M{N}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．