Question

已知：AC為⊙O₁的直徑，BC為⊙O₂直徑，點(diǎn)D為

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

BC

的中點(diǎn)，連接DE，M、N分別為線段AB、DE的中點(diǎn)，連接MN．

（1）如圖1，當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切時(shí)，猜想MN與DE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，當(dāng)⊙O₁與⊙O₂相交時(shí)，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)⊙O₁與⊙O₂內(nèi)切時(shí)，已知⊙O₁的半徑為6，⊙O₂的半徑為2，點(diǎn)P為DA的延長線上一點(diǎn)，求|PN-PM|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,相切兩圓的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）連接MD、ME，如圖1，由于點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，要證MN⊥DE，MN=

1

2

DE，只需證MD=ME，∠DME=90°，只需證△MO₁D≌△EO₂M即可解決問題．
（2）連接AD、BE，如圖2，易證AD∥BE，由M、N分別為線段AB、DE的中點(diǎn)可得MN∥AD∥BE，MN=

1

2

（BE+AD），只需證到∠ADC=90°，AD=DC，BE=CE即可解決問題．
（3）仿照（1）中的證明思路即可證到MN=

1

2

DE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，|PN-PM|取到最大值，最大值等于MN的長，只需求出MN的長即可．

解答：解：（1）猜想：MN⊥DE，MN=

1

2

DE．
理由如下：
連接MD、ME，如圖1．
∵⊙O₁與⊙O₂外切，
∴O₁O₂=O₁C+O₂C=

1

2

AC+

1

2

BC=

1

2

AB．
∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∴AM=BM=O₁O₂，
∴AO₁=MO₂，MO₁=BO₂．
∵AO₁=DO₁，BO₂=EO₂，
∴MO₂=DO₁，MO₁=EO₂．
∵點(diǎn)D為

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

BC

的中點(diǎn)，
∴∠AO₁D=∠CO₁D=

1

2

∠AO₁C=90°，
∠BO₂E=∠CO₂E=

1

2

∠BO₂C=90°．
在△MO₁D和△EO₂M中，

O1M=O2E ∠MO1D=∠EO2M O1D=O2M

，
∴△MO₁D≌△EO₂M（SAS），
∴MD=EM，∠O₁MD=∠O₂EM．
∵∠O₂ME+∠O₂EM=90°，
∴∠O₂ME+∠O₁MD=90°，
∴∠DME=90°．
∵M(jìn)D=EM，∠DME=90°，N為線段DE的中點(diǎn)，
∴MN⊥DE，MN=

1

2

DE．

（2）（1）中的猜想依然成立．
證明：連接AD、BE，如圖2．
∵AC為⊙O₁的直徑，BC為⊙O₂直徑，
∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ADC+∠BEC=180°，
∴AD∥BE．
∵M(jìn)、N分別為線段AB、DE的中點(diǎn)，
∴MN∥AD∥BE，MN=

1

2

（BE+AD），
∴∠MNE=∠ADE=90°，即MN⊥DE．
∵點(diǎn)D為

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

BC

的中點(diǎn)，
∴AD=DC，BE=CE，
∴MN=

1

2

（BE+AD）=

1

2

（CE+DC）=

1

2

DE．

（3）連接EO₂、EM、DO₁、DM，如圖3．
∵⊙O₁與⊙O₂內(nèi)切，
∴O₁O₂=O₁C-O₂C=

1

2

AC-

1

2

BC=

1

2

AB．
∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∴AM=BM=O₁O₂，
∴AO₁=MO₂，MO₁=BO₂．
∵AO₁=DO₁，BO₂=EO₂，
∴MO₂=DO₁，MO₁=EO₂．
∵點(diǎn)D為

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

BC

的中點(diǎn)，
∴∠AO₁D=∠CO₁D=

1

2

∠AO₁C=90°，
∠BO₂E=∠CO₂E=

1

2

∠BO₂C=90°．
在△MO₁D和△EO₂M中，

O1M=O2E ∠MO1D=∠EO2M O1D=O2M

，
∴△MO₁D≌△EO₂M，
∴MD=EM，∠O₁MD=∠O₂EM．
∵∠O₂ME+∠O₂EM=90°，
∴∠O₂ME+∠O₁MD=90°，
∴∠DME=90°．
∵M(jìn)D=EM，∠DME=90°，N為線段DE的中點(diǎn)，
∴MN⊥DE，MN=

1

2

DE．
∵⊙O₁的半徑為6，⊙O₂的半徑為2，
∴AM=O₁O₂=6-2=4，O₂E=O₂C=2，
∴MO₂=AC-AM-CO₂=12-4-2=6，
∴MD=ME=

MO22+O2E2

=

36+4

=2

10

，
∴DE=

MD2+ME2

=

40+40

=4

5

，
∴MN=

1

2

DE=2

5

，
∴|PN-PM|≤MN=2

5

．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，|PN-PM|取到最大值，最大值為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系、兩圓相切的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形的中位線定理、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，而證明△MO₁D≌△EO₂M是解決第（1）小題和第（3）小題的關(guān)鍵．