Question

在矩形ABCD中，DC=

6

，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sin∠FBD的值及BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)和垂直定義得出∠DEC=∠FDC=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理推出即可；
（2）求出FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，推出FE：FC=1：3，求出sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；設(shè)EF=x，則FC=3x，x=1，根據(jù)相似求出x=1，求出CF，根據(jù)勾股定理求出DF即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠FDC=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠DEC=∠FDC=90°，
∵∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）解：∵F為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；                      
設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴

CE

CD

=

CD

FC

，即可得：6x²=6，
解得：x=1，
則CF=3，
在Rt△CFD中，DF=

FC2-CD2

=

3

，
∴BC=2DF=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．